这是在捉迷藏吗？2021吉林中考数学压轴题，您能找出所有的鬼吗？

火币交易所 2022年07月15日 08:43 145 Connor

这道中考数学关于抛物线的压轴题，感觉像在玩捉迷藏，来自2021年吉林省吉林市中考数学。看看您能不能把所有藏起来的“鬼”(答案)找出来。题型还是蛮新的。

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x^2+bx+c的图像经过点A(0,-7/4), B(1,1/4).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当-2≤x≤2时，求二次函数y=x^2+bx+c的最大值和最小值；

(3)点P为此函数图像上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ//x轴，点Q的横坐标为

-2m+1. 已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小.

①求m的值取范围;

②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y=x^2+bx+c(-2≤x<1/3)的图像交点个数及对应的m的取值范围.

分析：(1)第一小题当然是送分题了，不过设解析式时，设成y=x^2+bx-7/4，会比较简便，求出结果注意快速检验答案的正确性。万一大意错了，下面的题都不用做了。

(2)求抛物线的对称轴，发现对称轴在定义域上，所以可以直接求顶点纵坐标，就是最小值。而最大值在离对称轴更远的端点上。离得近那个端点就不用求函数值了，浪费时间，这个时间不如用来检验答案的正确性。

(3)①就是得到PQ关于m的一次函数解析式，由斜率判断一次函数的增减性，就可以了。

②要结合①的结论。借助图像会比较好办。由于抛物线残缺，右侧对称性缺得比较多，所以有一个区间上天然只有一个交点，关键求这个区间的右端点，就是原区间右端点的抛物线对称点。

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设PQ与抛物线的另一个交点为C，比较PC和PQ的大小，如果PQ<PC，无论如何，都只有一个交点。

剩余的区间也不是一定有两个交点，还有一个藏着的“鬼”没有找出来，就是虽然PQ>=PC，但Q、C在P点两侧的情形。最后别忘了考虑PQ<=7，显然这个条件，其实没有什么用。

下面组织解题过程，请对照上面的分析理解解题过程：

解：(1)将B(1,1/4)代入y=x^2+bx-7/4，得1/4=1+b-7/4，解得：b=1，

∴二次函数的解析式为：y=x^2+x-7/4.

(2)抛物线的对称轴为：x=-1/2,

∴f(-1/2)=1/4-1/2-7/4=-2最小; ∴f(2)=4+2-7/4=17/4最大.

解：(3)①PQ=|-2m+1-m|=|3m-1|>0,

当m>1/3时, PQ=3m-1，不符合条件，舍去；

当m<1/3时, PQ=-3m+1，符合条件；

∴m的值取范围为：m<1/3.

②2×(-1/2)-1/3=-4/3，【这是求出右端点的对称点的横坐标】

当-2≤m≤-4/3时, PQ与抛物线只有一个交点P,【就是右侧对称缺失的部分】

记直线PQ与抛物线的另一个交点为C, PC=2|m+1/2|=|2m+1|,

若PQ<PC, 则|3m-1|<|2m+1|，解得0<m<2, 只有一个交点P,

当-4/3<m<-1/2时, m<-2m+1, 解得m<1/3, 符合；有两个交点, 【此时点Q在点P的右侧】

当-1/2≤m≤0时, m>-2m+1, 解得m>1/3, 不符合；只有一个交点P,【此时点Q在点P的左侧】

又PQ=|3m-1|≤7, ∴-2≤m≤8/3, 【其实这个条件完全是多余的】

综上，【依题意，上面部分并不需要写进试卷中】

当-2≤m≤-4/3或-1/2≤m<1/3时, 线段PQ与抛物线只有一个交点,

当-4/3<m<-1/2时, 线段PQ与抛物线有两个交点.

怎么样？您把所有藏起来的“鬼”找出来了吗？

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